Dans le cas présent, aucune charge, ni aucun champ ne sont présents dans le référentiel de Art pour influencer celui de Lenny .

Le référentiel de Lenny se déplace sur l'axe  `Ox `   de Art. 
Il s'agit d'exprimer toutes les composantes des différents champs du tenseur de Faraday de Lenny vues par Art.

Prenons la voie MATRICIELLE (voir Complément 8.2) , plus directe puisqu'elle donne tous les résultats recherchés dans le même calcul.

Nous partons donc avec les éléments :

- la matrice de transformation de Lorentz dans le cas d'un mouvement le long de l'axe des   ` bb(x) `  dans le sens positif :

        ` L = [(a, b, 0, 0), (b, a, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] `             avec   `a = frac{1}{sqrt(1 - v^2)]`   et    ` b = frac{-v}{sqrt(1 - v^2)} `

- l'allure générale du tenseur de Faraday :

        ` F^(mu nu) = [ ( 0, +E_x, +E_y, +E_z), (-E_x, 0, +B_z, -B_y), (-E_y, -B_z, 0, +B_x), (-E_z, +B_y, -B_x, 0)] ` 

qui est donc ici complet.

- La formule de transformation d'un tenseur à deux indices donnée par la relation   ` bb((8.2))  ` :

        ` (F^')^(mu nu) = L_(\ sigma)^mu L_(\ tau)^nu F^(sigma tau) `                     que l'on ne va pas utiliser.

- et la formule matricielle correspondante convenable vue dans le Complément 8.2 :

        ` [(F^')^(mu nu)] = [\ L\ ][F^(mu nu)][\ tilde(L)\ ] `                 la matrice   ` [\ tilde(L)\ ] ` étant la matrice transposée de  ` [\ L\ ] ` 


` =>`  l'objectif étant d'identifier les différentes composantes demandées dans le tenseur de Faraday.

La matrice   ` [\ L \ ] `   étant symétrique, on a   ` [\ tilde(L)\ ] = [\ L \ ] `   et on a donc à effectuer les produits matriciels :

        ` [(F^')^(mu nu)] = [\ L\ ][F^(mu nu)][\ L\ ] ` 

soit, pour commencer :

        ` [A] = [F^(mu nu)][\ L\ ] ` 
               ` =  [ ( 0, +E_x, +E_y, +E_z), (-E_x, 0, +B_z, -B_y), (-E_y, -B_z, 0, +B_x), (-E_z, +B_y, -B_x, 0)] [(a, b, 0, 0), (b, a, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] ` 

               ` = [( (+E_x)b, (+E_x) a, +E_y, +E_z),
                      ((-E_x) a, (-E_x) b, +B_z, -B_y),
                      ((-E_y) a + (-B_z) b, (-E_y) b + (-B_z) a, 0, B_x),
                      ((-E_z) a + (+B_y) b, (-E_z) b + (+B_y) a, -B_x, 0)] ` 
et ensuite :

        ` [(F^')^(mu nu)] = [\ L\ ][A] ` 

                    ` = [(a, b, 0, 0), (b, a, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] 
                        [( (+E_x)b, (+E_x) a, +E_y, +E_z),
                      ((-E_x) a, (-E_x) b, +B_z, -B_y),
                      ((-E_y) a + (-B_z) b, (-E_y) b + (-B_z) a, 0, B_x),
                      ((-E_z) a + (+B_y) b, (-E_z) b + (+B_y) a, -B_x, 0)] ` 

                    ` = [ ( a (+E_x)b + b (-E_x) a , a (+E_x)a + b (-E_x) b, a (+E_y) + b(+B_z), a (+E_z) + b(-B_y) ),
                          ( b (+E_x)b + a (-E_x) a , b (+E_x)a + a (-E_x) b, b (+E_y) + a(+B_z), b (+E_z) + a(-B_y) ),
                          ( 1 xx ((-E_y)a + (-B_y)b), 1 xx ((-E_y)b + (-B_z)a), 0, +B_x ),
                          ( 1 xx ((-E_z)a + (+B_y)b), 1 xx ((-E_z)b + (+B_y)a), +B_x, 0 ) ] ` 

                    ` = [ ( 0, +E_x(a^2 - b^2), +a E_y + b B_z, +a E_z - b B_y ),
                          ( -E_x (a^2 - b^2), 0, +b E_y + a B_z, +b E_z - a B_y ),
                          ( -(a E_y + bB_z), -(b E_y + aB_z), 0, +B_x ),
                          ( -a E_z + b B_y, -b E_z + a B_y, -B_x, 0 ) ] ` 
avec :
        ` a = frac{1}{sqrt(1 - v^2)} `             ` b = frac{-v}{sqrt(1 - v^2)} ` 

        ` a^2 - b^2 = frac{1}{1 - v^2} - frac{v^2}{1 - v^2} ` 
                      ` =  frac{1 - v^2}{1 - v^2} ` 
                      ` = 1 ` 

d' où le tenseur de Faraday dans le référentiel mobile :

        ` color(blue) ([(F^')^(mu nu)] ) = [ ( 0, +E_x, frac{E_y - v B_z}{sqrt(1 - v^2)}, frac{E_z + v B_y}{sqrt(1 - v^2)}),
                          ( -E_x , 0, frac{-v B_y + B_z}{sqrt(1 - v^2)}, -frac{v E_z + B_y}{sqrt(1 - v^2)} ),
                          ( - frac{E_y - v B_z}{sqrt(1 - v^2)}, - frac{-v B_y + B_z}{sqrt(1 - v^2)}, 0, +B_x ),
                          ( -frac{E_z + v B_y}{sqrt(1 - v^2)}, frac{v E_z + B_y}{sqrt(1 - v^2)}, -B_x, 0 ) ] 
                           -= [ ( 0, +E_x^', +E_y^', +E_z^'), (-E_x^', 0, +B_z^', -B_y^'), (-E_y^', -B_z^', 0, +B_x^'), (-E_z^', +B_y^', -B_x^', 0)]  ` 


    1) La matrice   ` [(F^')^(mu nu)] `  obtenue est bien antisymétrique.

    2) L'obtention des résultats est plus directe que par la méthode tensorielle (hormis les calculs matriciels pour les cas covariants et mixtes
       non utilisés ici).

3) les différents composants peuvent être obtenus aussi par la méthode tensorielle en faisant les calculs comme au Complément 8.1 
   en déroulant les indices   ` sigma `  et  ` tau `  :

        ` color(brown) (E_x^' = (F^')^(0 1) = L_(\ sigma)^0 L_(\ tau)^1 F^(sigma tau) )` 
        ` color(brown) (E_y^' = (F^')^(0 2) = L_(\ sigma)^0 L_(\ tau)^2 F^(sigma tau) )` 
        ` color(brown) (E_z^' = (F^')^(0 3) = L_(\ sigma)^0 L_(\ tau)^3 F^(sigma tau) )` 

        ` color(brown) (B_x^' = (F^')^(2 3) = L_(\ sigma)^2 L_(\ tau)^3 F^(sigma tau) )` 
        ` color(brown) (B_y^' = (F^')^(3 1) = L_(\ sigma)^3 L_(\ tau)^1 F^(sigma tau) )` 
        ` color(brown) (B_z^' = (F^')^(1 2) = L_(\ sigma)^1 L_(\ tau)^2 F^(sigma tau) )` 



Les composantes demandées sont donc les suivantes :

        ` color(blue) (E_x^' = E_x )` 

        ` color(blue) (E_y^' = frac{E_y - v B_z}{sqrt(1 - v^2)} )` 

        ` color(blue) (E_z^' = frac{E_z + v B_y}{sqrt(1 - v^2)} )` 
et :
        ` color(blue) (B_x^' = B_x ` 

        ` color(blue) (B_y^' = frac{v E_z + B_y}{sqrt(1 - v^2)} )` 

        ` color(blue) (B_z^' = frac{-v B_y + B_z}{sqrt(1 - v^2)} )`