Avec les définitions de :

        ` frac{d tau}{dt} = frac{sqrt(dt^2 - d vec(x)^2 )}{dt} ` 

              ` = frac{cancel(dt) sqrt(1 - (frac{d vec(x)}{dt})^2 )}{cancel(dt)} ` 

              ` = sqrt(1 - vec(v)^2 ) `    ,


        ` U^0 = frac{1}{sqrt(1 - vec(v)^2 )} `   ,


        ` U^(i) = frac{V^(i)}{sqrt(1 - vec(v)^2 )} `                 avec    ` V^1 = frac{dx}{dt} ` ,      ` V^2 = frac{dy}{dt} ` ,      ` V^3 = frac{dz}{dt} ` 


on peut vérifier si l'expression   ` (3.7) `   

        ` (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2 = 1 `             est vraie

en remplaçant chaque terme par les définitions correspondantes ci-dessus, soit :

        ` (frac{1}{sqrt(1 - vec(v)^2 )} )^2 - (frac{ frac{dx}{dt} }{sqrt(1 - vec(v)^2 )} )^2 - (frac{ frac{dy}{dt} }{sqrt(1 - vec(v)^2 )} )^2 - (frac{ frac{dz}{dt} }{sqrt(1 - vec(v)^2 )} )^2 "=?" \ 1 ` 

        ` (frac{1}{sqrt(1 - vec(v)^2 )} )^2 - frac{ (frac{dx}{dt} )^2 + (frac{dy}{dt} )^2 + (frac{dz}{dt} )^2 } {(sqrt(1 - vec(v)^2 ))^2} \ "=?" \ 1 ` 

        ` (frac{1}{sqrt(1 - vec(v)^2 )} )^2 - frac{vec(v)^2 } {(sqrt(1 - vec(v)^2 ))^2} \ "=?" \ 1 ` 

        ` frac{1}{1 - vec(v)^2 }  - frac{vec(v)^2 } {1 - vec(v)^2 } \ "=?" \ 1 ` 

        ` frac{1 - vec(v)^2}{1 - vec(v)^2} \ "=?" \ 1 `                 `color(blue) ( "ce qui est vrai " )` 

et donc l'expression :

        `color(blue) ( (U^0)^2 - (U^1)^2 - (U^2)^2 - (U^3)^2 = 1 )`             est bien un  `color(blue)("invariant") `