Le point  ` M(x,y,z) ` est  sur  le cône de lumière  ` x = ct `  dans le référentiel  ` Oxyz ` ,    ` z `  non représenté.

C'est aussi le point  ` M'(x',y',z') `  sur le cône de lumière  ` x' = ct' `  et dans le référentiel  ` O'x'y'z' ` ,    ` z' `  non représenté,
la vitesse de la lumière étant la même quel que soit le référentiel.

On a donc les relations :

        ` x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2 `                             sur le cône
et :
        ` x^('2) + y^('2) + z^('2) = c^2t^('2) `                      sur le cône aussi         

En prenant   ` y = y^' `   et  ` z = z^' ` ,

et en soustrayant les deux relations ci-dessus, il vient :

        ` x^2 - x^('2) = c^2 t^2 - c^2 t^('2) `
d'où :
        ` c^2 t^('2) - x^('2) = c^2 t^2 - x^2 ` 

Avec la notation relativiste  ` c = 1 ` , on arrive à :

        `color(blue)( t^('2) - x^('2) = t^2 - x^2 = tau^2 )`                 notre relation cherchée.