a-1)
On part du référentiel de Art en mouvement qui se demande quelle valeur de ` t `
voit Lenny pour sa valeur ` t^' = 1 ` .
On utilise la transformée réciproque de Lorentz :
` t = frac{t^' + v x^'}{sqrt(1 - v^2)} `
avec :
` x^' = 0\ \ ;\ \ t^' = 1 `
ce qui donne :
` t = frac{1}{sqrt(1 - v^2)} ` ce que l'on venait de trouver.
Et ` t > 1 ` donc Art voit vieillir Lenny plus vite que lui.
a-2)
Réciproquement, on part du référentiel de Lenny en mouvement par
rapport Art considéré comme fixe maintenant.
Il se demande quelle valeur de ` t ` voit Art pour sa valeur ` t'' = 1 ` .
Art voit voyager Lenny à la vitesse ` - v ` .
On utilise la transformée réciproque de Lorentz :
` t = frac{t'' - v x''}{sqrt(1 - v^2)} `
avec :
` x'' = 0\ \ ;\ \ t'' = 1 `
ce qui donne :
`color(blue)( t = frac{1}{sqrt(1 - v^2)} )` ce que l'on cherchait.
Et ` t > 1 ` donc Lenny voit AUSSI vieillir Art plus vite que lui.
b)
Cette question concernant le retour du jumeau n'est pas anodine comme le montre l'article sur le paradoxe des jumeaux dans Wikipedia.
Art change de référentiel avec une accélération dûe au changement de direction mais le croisement des deux axes n'est pas très parlant.
Quand même, en regardant la figure 1.8 complétée, on voit qu'il n'y a plus la même origine ` O ` pour les deux diagrammes d'espace-temps
de Lenny et Art.
Le diagramme d'Art est maintenant :
` x = -vt + d `
Et comme cette droite passe par le point
` t = frac{1}{sqrt(1 - v^2)}\ ;\ x = vt = frac{v}{sqrt(1 - v^2)} `
la valeur de ` d ` est donnée par :
` frac{v}{sqrt(1 - v^2)} = -v frac{1}{sqrt(1 - v^2)} + d `
soit :
` d = frac{2v}{sqrt(1 - v^2)} `
ce qui nous donne pour Art :
` x = - vt + frac{2v}{sqrt(1 - v^2)} `
A son retour à son point de départ, il vient :
` x = 0 `
`color(blue) ( t = frac{2}{sqrt(1 - v^2)} )`
En revenant aux unités habituelles, il vient :
` t = frac{2}{sqrt(1 - frac{v^2}{c^2)}} `
et en prenant les valeurs de la vitesse utilisée pour la limousine de Lenny dans le paragraphe suivant :
` v = 276\ 800 ` km/s ( c'est plus compréhensible que les m/s )
` c = 300\ 000 ` km/s
soit :
` frac{v^2}{c^2} = frac{(276\ 800)^2}{(300\ 000)^2} = 0,85 `
` t = frac{2}{sqrt(1 - 0,85)} ~= frac{2}{0,387}`
` t ~= 5,16 `
C'est-à-dire que si Art est parti 2 années à la vitesse d'un peu plus de ` 90 % ` de la vitesse de la lumière,
Lenny aura vieilli de presque 5 ans et 2 mois !
Mais pour l'instant, nous n'avons pas utilisé les axes de simultanéité comme demandé dans la question.
Et c'est Laurent Trouchaud (merci à lui) qui m'a indiqué le bon diagramme espace-temps à utiliser pour répondre à cette question
le plus correctement possible.
En n'oubliant pas, humblement, l'article de Wikipédia cité précédemment.
On a maintenant les axes de simultanéité ` t' = 0,\ t' = 1,\ t'' = 0 ` (puisque c'est le début de l'axe de retour).
Comme page 25 où Art, Maggy et Lenny sont synchrones dans le même train, à des positions différentes mais sur un seul axe.
Mais il faut des éléments synchrones qui imagent sur ces axes le passage subit de A en B lorsque Art revient sur Terre.
On peut donc faire une expérience de pensée avec un train qui représente tout le segment AP lorsque ` t' = 1 ` comme
dessiné ci-dessus.
Bien entendu, à ` t' = 0 ` le début du train est en ` O ` sur l'axe ` x' ` .
Au temps ` t' = 1 ` , l'avant de la locomotive est maintenant en P .
Et il repart en sens inverse à la vitesse - v.
Le fait de repartir en marche arrière est plus visuel.
Car c'est à ce moment qu'avec le changement d'axe de simultanéité, l'arrière du train en A au temps ` t_A ` se retrouve subitement
en B au temps ` t_B ` .
Le retour complet se terminant lorsque l'avant de la locomotive se retrouve en Q .
Les équations des axes (ou surfaces) de simultanéité sont obtenues de la manière suivante :
L'équation est de la forme :
` t = vx + b `
et elle passe par ` P ` de coordonnées :
` t_P = frac{1}{sqrt(1 - v^2)} `
` x_P = frac{v}{sqrt(1 - v^2)} `
d'où :
` frac{1}{sqrt(1 - v^2)} = v frac{v}{sqrt(1 - v^2)} + b `
` b = frac{1 - v^2}{sqrt(1 - v^2)} `
` b = sqrt(1 - v^2) `
et :
` color(blue)(t = vx + sqrt(1 - v^2) )` ` (1) `
L'équation est de la forme :
` t = - vx + k `
et elle passe par ` P ` de coordonnées :
` t_P = frac{1}{sqrt(1 - v^2)} `
` x_P = frac{v}{sqrt(1 - v^2)} `
d'où :
` frac{1}{sqrt(1 - v^2)} = - v frac{v}{sqrt(1 - v^2)} + k `
` k = frac{1 + v^2}{sqrt(1 - v^2)} = frac{1 - v^2}{sqrt(1 - v^2)} + frac{2v^2}{sqrt(1 - v^2)}`
` k = sqrt(1 - v^2) + frac{2v^2}{sqrt(1 - v^2)}`
et :
` color(blue)(t = - vx + sqrt(1 - v^2) + frac{2v^2}{sqrt(1 - v^2)} )` ` (2) `
Sur les axes de simultanéité ` t' = 1` et ` t'' = 0 ` la valeur de ` t ` va passer respectivement de ` t_A ` à ` t_B ` avec :
` t_A = sqrt(1 - v^2) ` ( ` x = 0 ` dans ` (1) )`
` t_B = sqrt(1 - v^2) + frac{2v^2}{sqrt(1 - v^2)}` ( ` x = 0 ` dans ` (2) )`
soit un accroissement subit de :
` color(blue)(t_B - t_A = frac{2v^2}{sqrt(1 - v^2)} )` ce que l'on cherchait.
On a :
` OQ = 2 t_P = 2 t = frac{2}{sqrt(1 - v^2)}`
et :
` OQ = OA + AB + BQ ` que l'on doit vérifier.
avec :
` OA = t_A = sqrt(1 - v^2) `
` AB = t_B - t_A = frac{2v^2}{sqrt(1 - v^2)} `
` BQ = t_A = sqrt(1 - v^2) `
ce qui donne :
` OA + AB + BQ = 2 sqrt(1 - v^2) + frac{2v^2}{sqrt(1 - v^2)} `
` = frac{2(1 - cancel(v^2) )}{sqrt(1 - v^2)} + frac{cancel(2v^2)}{sqrt(1 - v^2)} `
` = frac{2}{sqrt(1 - v^2)} = OQ ` ce que l'on voulait vérifier.
