En reprenant le problème de la page 61, une observatrice, en l'occurrence Maggie, est mobile dans un référentiel lui-même mobile par rapport
à un observateur fixe, celui de Art.

Les vitesses    ` u `  et    ` v `   s'ajoutant suivant la loi de Lorentz, on obtient que Maggie se déplace sur la ligne d'univers :

        ` x = w t `             avec            ` w = frac{u + v}{1 + uv} ` 

et que sa position est :

        ` x'' = frac{x(1 + uv) - t(u + v)}{sqrt(1 - v^2) sqrt(1 - u^2)} `                     ` bb( (1) ) `

1) Est-ce que l'expression de sa position peut se mettre sous la forme d'une transformation de Lorentz ? 
A savoir :

        ` x'' = frac{x - wt}{sqrt(1 - w^2)} ` 

On peut déjà avoir l'expression   ` bb( (1) ) `    qui s'écrit aussi :

        ` x'' = frac{(1 + uv)(x - t frac{(u + v)}{1 + uv}) } {sqrt(1 - v^2) sqrt(1 - u^2)} ` 

               ` = frac{(1 + uv)(x - w t)} {sqrt(1 - v^2) sqrt(1 - u^2)} = frac{A}{sqrt(B)}`                         ` bb( (2) ) `  

Intéressons-nous seulement à :

        ` color(brown) (bb(B = (1 - v^2)(1 - u^2)) )` 

            ` = [(1 - v)(1 + v)][(1 - u)(1 + u)] `                     puisque            ` a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) ` 

            ` = [(1 + v)(1 + u)][(1 - v)(1 - u)] `                     en réordonnant 

            ` = (1 + u + v + uv)(1 - u - v + uv) `                en effectuant 

            ` = (1 + uv + u + v)(1 + uv - u - v) `                en réordonnant à nouveau 

            ` = [(1 + uv) + (u + v)][(1 + uv) - (u + v)] `        en regroupant 

            ` = (1 + uv)^2 - (u + v)^2 `                                          puisque            ` (a + b)(a - b) = a^2 - b^2  ` 

            ` = (1 + uv)^2 ( 1 - frac{(u + v)^2}{(1 + uv)^2} )`   

            ` = (1 + uv)^2 ( 1 - w^2 )`   

et en réinsérant dans     ` bb( (2) ) `   :

        ` x'' = frac{(1 + uv)(x - w t)} {sqrt((1 + uv)^2 ( 1 - w^2 ))} `  

             ` = frac{cancel((1 + uv))(x - w t)} {cancel((1 + uv)) sqrt( 1 - w^2)} `

on obtient :

        ` color(blue)(x'' = frac{x - w t} {sqrt(1 - w^2)} )`                  ce que l'on voulait vérifier.

2) De la même manière, pour l'expression du temps, on part des expressions :

        ` t^' = frac{t - vx}{sqrt(1 - v^2)} `         ;                ` x' = frac{x - vt}{sqrt(1 - v^2)} ` 

        ` t'' = frac{t^' - ux^'}{sqrt(1 - u^2)} ` 

ce qui va nous donner l'expression de     `t''  `   , après report des valeurs de    ` t^' `  et   ` x^'  `  et simplification comme précédemment :

        ` t'' = frac{t(1 + uv) - x(u + v)}{sqrt(1 - v^2) sqrt(1 - u^2)} `                     ` bb( (3) ) `

Est-ce que l'expression de sa position peut se mettre sous la forme d'une transformation de Lorentz ? 
A savoir :

        ` t'' = frac{t - wx}{sqrt(1 - w^2)} ` 

Ici aussi, on peut déjà avoir l'expression   ` bb( (3) ) `    qui s'écrit :

        ` t'' = frac{(1 + uv)(t - x frac{(u + v)}{1 + uv}) } {sqrt(1 - v^2) sqrt(1 - u^2)} ` 

              ` = frac{(1 + uv)(t - w x)} {sqrt(1 - v^2) sqrt(1 - u^2)} `                        ` bb( (4) ) `

Comme nous venons de démontrer que :

        ` (1 - v^2)(1 - u^2) = (1 + uv)^2 ( 1 - w^2 )`   

que l'on insère dans     ` bb( (4) ) `   :

        ` t'' = frac{(1 + uv)(t - w x)} {sqrt((1 + uv)^2 ( 1 - w^2 ))} `  
  
              ` = frac{cancel((1 + uv))(t - w x)} {cancel((1 + uv)) sqrt( 1 - w^2)} `

on obtient :

        ` color(blue)(t'' = frac{t - w x} {sqrt(1 - w^2)} )`                  ce que l'on voulait vérifier.