L'équation ` (5.20) `  s'écrit :

        ` A_mu = eta_(mu nu) A^nu ` 

avec :
        `[eta_(mu nu)] = [ (-1, 0, 0, 0),
                          (0, 1, 0, 0),
                          (0, 0, 1, 0),
                          (0, 0, 0, 1) ] ` 

On devrait pouvoir écrire de manière réciproque, et en essayant de mettre les indices dans le bon ordre et au bon endroit :

        ` A^nu = eta^(nu mu) A_mu ` 
avec

        ` [eta^(nu mu)] = [eta_(mu nu)]  ` 
et 

        `[eta^(nu mu)] [eta_(mu nu)]  =  ` 
                                ` [ ( (-1)xx(-1), 0, 0, 0),
                                  (0, 1, 0, 0),
                                  (0, 0, 1, 0),
                                  (0, 0, 0, 1) ]  = [ (1, 0, 0, 0),
                                                      (0, 1, 0, 0),
                                                      (0, 0, 1, 0),
                                                      (0, 0, 0, 1) ] ` 

                          ` = bb([\ I\ ]) ` 

On pourra alors écrire :

        ` [eta^(nu mu)] [A_mu] = [eta^(nu mu)] [ eta_(mu nu)] [ A^nu] =  bb([\ I\ ]) A^nu ` 

        ` color(blue) ([eta^(nu mu)] [A_mu] = [A^nu] )`                         qui nous a fait "revenir en arrière" comme demandé.
ou

        ` color(blue) (eta^(nu mu) A_mu = A^nu )`                                 si on considère chaque ligne de rang  ` nu = 0, 1,2, 3 ` 



Sur cette page il est indiqué indifféramment :

        ` color(brown) (A_mu) = sum_nu eta_(mu nu) A^nu ` 
et égal à :

        ` sum_nu eta_(mu nu) A^nu = eta_(mu 0)A^0 + eta_(mu 1)A^1 + eta_(mu 2)A^2 + eta_(mu 3)A^3 `                 ce qui représente une ligne de rang   ` mu `   d'un quadrivecteur,

soit un quadrivecteur complet représenté en colonne 

        ` color(brown) (A_mu) = ( (-A^t), (A^x), (A^y), (A^z) ) ` 

ceci sous la même dénomination   ` A_mu `  !

C'est là, à mon sens une  `bb("source de confusion") `  car une ligne d'un quadrivecteur et le quadrivecteur complet sont représentés de la même manière.

Pour éviter cette confusion j'ai adopté, dans cet exercice, deux représentations différentes mais déjà connues :

        ` color(brown) ([eta^(nu mu)] [A_mu] = [A^nu] )`                         pour une matrice complète et un quadrivecteur complet.
et
        ` color(brown) (eta^(nu mu) A_mu = A^nu )`                                  pour une ligne de rang  ` nu = 0, 1,2, 3 ` 

ce qui donne :

        `color(blue) ( ( (-A^t), (A^x), (A^y), (A^z) ) = bb([\ A_mu\ ]) )`                     la représentation pour une ligne étant inchangée.

J'essaierai de l'employer dès que possible, notamment dans l'exercice 6.1 .

La représentation   ` bb( (\ A_mu\ ) ) `   n'étant pas judicieuse car l'expression   ` (A^')_mu `   apparait par la suite pour une ligne de rang  ` mu ` .