De même que dans l'exemple 8.1 d'Einstein, nous regardons la transformation de Lorentz correspondant au cas présent.
Il s'agit de trouver les composantes demandées dans le tenseur de Faraday.
1) Dans un premier temps, prenons la voie MATRICIELLE (voir Complément 8.2) , plus directe puisqu'elle donne tous les résultats recherchés
dans le même calcul.
Nous partons donc avec les éléments :
- la matrice de transformation de Lorentz dans le cas d'un mouvement le long de l'axe des ` bb(x) ` mais dans le sens négatif :
` L = [(a, b, 0, 0), (b, a, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] ` avec `a = frac{1}{sqrt(1 - v^2)]` et ` b = frac{-(-v)}{sqrt(1 - v^2)} = frac{+v}{sqrt(1 - v^2)}`
- l'allure générale du tenseur de Faraday :
` F^(mu nu) = [ ( 0, +E_x, +E_y, +E_z), (-E_x, 0, +B_z, -B_y), (-E_y, -B_z, 0, +B_x), (-E_z, +B_y, -B_x, 0)] `
qui se réduit aux seules composantes ` +- E_i ` du champ électrique pour le référentiel fixe, dans cet exercice :
` F^(mu nu) = [ ( 0, +E_x, +E_y, +E_z), (-E_x, 0, 0, 0), (-E_y, 0, 0, 0), (-E_z, 0, 0, 0)] `
- La formule de transformation d'un tenseur à deux indices donnée par la relation ` bb((8.2)) ` :
` (F^')^(mu nu) = L_(\ sigma)^mu L_(\ tau)^nu F^(sigma tau) `
- et la formule matricielle correspondante convenable vue dans le Complément 8.2 :
` [(F^')^(mu nu)] = [\ L\ ][F^(mu nu)][\ tilde(L)\ ] ` la matrice ` [\ tilde(L)\ ] ` étant la matrice transposée de ` [\ L\ ] `
` =>` l'objectif étant d'identifier les différentes composantes demandées dans le tenseur de Faraday.
La matrice ` [\ L \ ] ` étant symétrique, on a ` [\ tilde(L)\ ] = [\ L \ ] ` et on a donc à effectuer les produits matriciels :
` [(F^')^(mu nu)] = [\ L\ ][F^(mu nu)][\ L\ ] `
soit, pour commencer :
` [A] = [F^(mu nu)][\ L\ ] `
` = [ ( 0, +E_x, +E_y, +E_z), (-E_x, 0, 0, 0), (-E_y, 0, 0, 0), (-E_z, 0, 0, 0)] [(a, b, 0, 0), (b, a, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] `
` = [( (+E_x)b, (+E_x) a, +E_y, +E_z), ((-E_x) a, (-E_x) b, 0, 0), ((-E_y) a, (-E_y) b, 0, 0), ((-E_z) a, (-E_z) b, 0, 0)] `
et :
` [(F^')^(mu nu)] = [\ L\ ][A] `
` = [(a, b, 0, 0), (b, a, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)] [( (+E_x)b, (+E_x) a, +E_y, +E_z), ((-E_x) a, (-E_x) b, 0, 0), ((-E_y) a, (-E_y) b, 0, 0), ((-E_z) a, (-E_z) b, 0, 0)] `
` = [ ( a (+E_x)b + b (-E_x) a , a (+E_x)a + b (-E_x) b, a (+E_y), a (+E_z) ),
( b (+E_x)b + a (-E_x) a , b (+E_x)a + a (-E_x) b, b (+E_y), b (+E_z) ),
( 1 xx (-E_y)a, 1 xx (-E_y)b, 0, 0 ),
( 1 xx (-E_z)a, 1 xx (-E_z)b, 0, 0 ) ] `
` = [ ( 0, +E_x(a^2 - b^2), +a E_y, +a E_z ),
( -E_x (a^2 - b^2), 0, +b E_y, +b E_z ),
( -a E_y, -b E_y, 0, 0 ),
( -a E_z, -b E_z, 0, 0 ) ] `
avec :
` a = frac{1}{sqrt(1 - v^2)} ` ` b = frac{+v}{sqrt(1 - v^2)} `
` a^2 - b^2 = frac{1}{1 - v^2} - frac{v^2}{1 - v^2} `
` = frac{1 - v^2}{1 - v^2} `
` = 1 `
d' où le tenseur de Faraday dans le référentiel mobile :
` color(blue) ([(F^')^(mu nu)] ) = [ ( 0, +E_x, +E_y frac{1}{sqrt(1 - v^2)}, +E_z frac{1}{sqrt(1 - v^2)}),
( -E_x , 0, +E_y frac{+v}{sqrt(1 - v^2)}, +E_z frac{+v}{sqrt(1 - v^2)} ),
( -E_y frac{1}{sqrt(1 - v^2)}, -E_y frac{+v}{sqrt(1 - v^2)}, 0, 0 ),
( -E_z frac{1}{sqrt(1 - v^2)}, -E_z frac{+v}{sqrt(1 - v^2)}, 0, 0 ) ] `
à rapprocher de l'allure générale du tenseur de Faraday :
` [\ F^(mu nu)\ ] = [ ( 0, +E_x, +E_y, +E_z), (-E_x, 0, +B_z, -B_y), (-E_y, -B_z, 0, +B_x), (-E_z, +B_y, -B_x, 0)] `
1) La matrice ` [(F^')^(mu nu)] ` obtenue est bien antisymétrique.
2) L'obtention des résultats est plus directe que par la méthode tensorielle (hormis les calculs matriciels pour les cas covariants et mixtes
non utilisés ici).
Les composantes demandées sont donc les suivantes :
` color(blue) (E_x^' = E_x )`
` color(blue) (E_y^' = E_y frac{1}{sqrt(1 - v^2)} )`
` color(blue) (E_z^' = E_z frac{1}{sqrt(1 - v^2)} )`
` color(blue) (B_x^' = 0 `
` color(blue) (B_y^' = E_y frac{v}{sqrt(1 - v^2)} )`
` color(blue) (B_z^' = -E_z frac{v}{sqrt(1 - v^2)} )`
2) Maintenant, comparons avec la méthode TENSORIELLE utilisée dans le Complément 8.1 .
Si l'on veut trouver, par exemple, la composante ` E_x^' ` on va effectuer les calculs :
` color(brown) (E_x^' = (F^')^(01) = L_(\ sigma)^0 L_(\ tau)^1 F^(sigma tau) )` les indices ` sigma\ "et"\ tau ` étant les indices de sommation,
les exposants ` 0\ 1 ` indiquant la position ` "Ligne"\ 0,\ "Colonne"\ 1 ` dans la matrice (tenseur) de Faraday.
En déroulant les différents indices de sommation, on obtient les différents termes à additionner dont la somme donnera ` (F^')^(01) ` :
` sigma=0\ \ tau=0, ->color(brown) (\ L_(\ 0)^0 L_(\ 0)^1) F^(00) `
` tau=1, ->\ -\ color(brown) (L_(\ 1)^1) color(brown) (F^(01) )`
` tau=2, ->\ -\ L_(\ 2)^1 color(brown) (F^(02) )`
` tau=3, ->\ -\ L_(\ 3)^1 color(brown) (F^(03) )`
` sigma=1\ \ tau=0, ->color(brown) (\ L_(\ 1)^0 L_(\ 0)^1) color(brown) (F^(10) )`
` tau=1, ->\ -\ color(brown) (L_(\ 1)^1) F^(11) `
` tau=2, ->\ -\ L_(\ 2)^1 F^(12)`
` tau=3, ->\ -\ L_(\ 3)^1 F^(13) `
` sigma=2\ \ tau=0, ->\ L_(\ 2)^0 L_(\ 0)^1 color(brown) (F^(20) )`
` tau=1, ->\ -\ L_(\ 1)^1 F^(21) `
` tau=2, ->\ -\ L_(\ 2)^1 F^(22) `
` tau=3, ->\ -\ L_(\ 3)^1 F^(23) `
` sigma=3\ \ tau=0, ->\ L_(\ 3)^0 L_(\ 0)^1 color(brown) (F^(30) )`
` tau=1, ->\ -\ L_(\ 1)^1 F^(31) `
` tau=2, ->\ -\ L_(\ 2)^1 F^(32) `
` tau=3, ->\ -\ L_(\ 3)^1 F^(33) `
Les ` color(brown) ("seuls termes non nuls") ` du tenseur de départ ` F^(mu nu) ` étant :
` F^(01) = +E_x,\ F^(02) = +E_y,\ F^(03) = +E_z `
` F^(10) = -E_x,\ F^(20) = -E_y,\ F^(30) = -E_z ` ,
et ceux de la matrice ` [\ L\ ] ` :
` L_(\ 0)^0 = L_(\ 1)^1 = a = frac{1}{sqrt(1 - v^2)} `
` L_(\ 0)^1 = L_(\ 1)^0 = b = frac{v}{sqrt(1 - v^2)} `
On obtient :
` (F^')^(01) = L_(\ 0)^0 L_(\ 1)^1 F^(01) + L_(\ 1)^0 L_(\ 0)^1 F^(10) `
` = a^2 F^(01) + b^2 F^(10) `
` = frac{1}{1 - v^2} E_x + frac{v^2}{1 - v^2}(-E_x) `
` = E_x frac{1 - v^2}{1 - v^2} = E_x `
donc :
` color(blue) (E_x^' = (F^')^(01) = E_x )`
ce que l'on avait obtenu par la méthode matricielle.
Pour obtenir les six résultats demandés, il faut donc encore effectuer cinq fois ce genre de calcul,
ce qui est vraiment fastidieux, au moins à ce niveau d'exercice.
