Exercice 6.2


Exercice 6.2 : 
L' expression  (6.28)  a été dérivée en identifiant l'indice  ` p `  à la composante
 ` z `  de l'espace, puis en additionnant pour toutes les valeurs de  ` n ` (1, 2 et 3) .
Pourquoi n'y a t'il pas de terme en  ` v_z `  ?







L' expression (6.28) que nous allons calculer vient de l'expression générale (6.27) page 209 que nous allons noter   ` C_p `  :

        ` color(brown) (C_p = dot(X)^n (frac{del A_n}{del X^p} - frac{del A_p}{del X^n}) )` 
avec
        ` dot(X)^n = v_n ` 

et, comme indiqué pour le calcul :

        ` p = z ` 
        ` n = x,\ y,\ z `                                          puisque   `n `  est l'indice de sommation
        ` X = x("ou"\ X^1),\ y("ou"\ X^2),\ z("ou"\ X^3) `                         pour les variables

ce qui donne :

        ` C_z = v_x (frac{del A_x}{del z} - frac{del A_z}{del x}) ` 
                    ` + v_y (frac{del A_y}{del z} - frac{del A_z}{del y}) ` 
                    ` + v_z ( cancel(frac{del A_z}{del z}) - cancel(frac{del A_z}{del z}) ) ` 

ce qui nous conduit bien à :

        ` color(blue) (C_z = v_x (frac{del A_x}{del z} - frac{del A_z}{del x})  
                     + v_y (frac{del A_y}{del z} - frac{del A_z}{del y}) )`                 puisque le terme en   `bb(v_z)`  est nul.

Nous avons obtenu le bon résultat, même si la gestion des indices n'a pas été très claire pour moi pour y arriver (voir le  Complément 6.1 
et le  Complément 6.2 .

De la même manière, on obtient  pour   ` p = y , \ \ n = x,\ y,\ z ` :
        ` color(darkorange) (C_y = v_x (frac{del A_x}{del y} - frac{del A_y}{del x})  
                     + v_z (frac{del A_z}{del y} - frac{del A_y}{del z}) )`                 puisque le terme en   `bb(v_y)`  est nul.

et pour   ` p = x , \ \ n = x,\ y,\ z ` :
        ` color(green) (C_x = v_y (frac{del A_y}{del x} - frac{del A_x}{del y})  
                     + v_z (frac{del A_z}{del x} - frac{del A_x}{del z}) )`                 puisque le terme en   `bb(v_x)`  est nul.